Mit der Version 1.2.1 von flashChart wird ein neuer Typ von Diagrammen unterstützt, Streudiagramme. Ein Streudiagramm (engl. Scatterplot) ist die graphische Darstellung von beobachteten Wertepaaren zweier statistischer Merkmale. Diese Wertepaare werden in ein kartesisches Koordinatensystem eingetragen, wodurch sich eine Punktwolke ergibt. Die Darstellung der Punkte kann durch verschiedene kleine Symbole erfolgen.
Man erhofft sich durch das Muster der Punkte im Streudiagramm Informationen über die Abhängigkeitsstruktur der beiden Merkmale, die durch die Koordinaten repräsentiert sind.
{tab Beispiel|primary}Untenstehendes Beispieldiagramm enthält Punkte, die die beiden Merkmale „Armlänge“ und „Größe“ von verschiedenen Personen darstellen. Man erkennt durch ein solches Streudiagramm auf einen Blick verschiedene Korrelationen in den erfassten Daten.
| {flashchart type="scatter_star" width="100%" "title="Armlänge vs. Größe" x_legend="Armlänge (cm)" y_legend="Größe (cm)" y_min="150" x_step="10" y_step="10" height="270" legend_fontsize="10" label_fontsize="9" data="156,157,159,160,161,162,165,170,170,173,173,177,177,178,184,188,188,188,188,188,194,196,200/ 162,160,162,155,162,170,166,170,167,185,176,173,176,178,180,188,187,182,181,192,193,184,186" show_regression_line="1" tooltip="Größe: #val#cm Armlänge: #x#cm" title_style="font-size:12px; font-weight:bold; font-family:Sans-Serif,Arial,Helvetica; color:51698F;"}scatter_1{/flashchart} |
Dieses Streudiagramm zeigt die generelle Ausprägung der Korrelation zwischen Armlänge und Körpergröße - (Auch beim Anklicken (Verstecken) von "Trend" ist dies sichtbar). Man kann sehen, wenn man die Wertepaare von links nach rechts überprüft, dass kurze Armlängen kleineren Personen, und größere Armlängene größeren Personen zugeordet werden können. -- Dies bedeutet, dass hier eine positive Korrelation zwischen Armlänge und Körpergröße vorliegt. |
Häufig auftretende Korrelationen sind lineare bzw. nichtlineare Strukturen. Zur Quantifizierung von Korrelationen bietet sich vor allem die Regressionsanalyse an.
{tab Regression|primary}Regression
Die Regressionsanalyse ist eine Sammlung von statistischen Analyseverfahren. Ziel bei den am häufigsten eingesetzten Analyseverfahren ist es, Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen festzustellen. Sie wird insbesondere verwendet, wenn Zusammenhänge quantitativ zu beschreiben oder Werte der abhängigen Variablen zu prognostizieren sind.
Regressionsverfahren sind weiterhin ein aktives Forschungsgebiet. In den letzten Jahrzehnten wurden in verschiedensten Bereichen Schätzmethoden entwickelt, etwa zur robusten Regression, zur nicht parametrischen Regression, im Bereich der Bayesschen Statistik, bei fehlenden Daten und bei fehlerbehafteten unabhängigen Variablen. Mehr Informationen über Regressionsanalyse und verwandte Themen findet man bei Wikipedia oder via Google.
Wenn man mit flashChart ein Streudiagramm erstellt, kann man gleichzeitig auch eine Regressionslinie erstellen lassen. flashChart hat drei "eingebaute" Berechnungsverfahren (alle basierend auf dem Modell der linearen Regression). Sie werden durch folgende Funktionsmodelle beschrieben:
- f(x) = ax + b (lineare Regression)
- f(x) = abx (exponentielle Regression)
- f(x) = axb (exponentielle Regression)
Mit dem auf "1" gesetzten flashChart Parameter show_regression_line wird eine Regressionsberechnung angefordet und eine Regressionslinie erzeugt.
Zusätzlich kann man mit dem Parameter show_regression_formula die berechnete Regressionsfunktion als Legende (key) anzeigen lassen. Diese Legende bekommt das Klick-Attribut "toggle-visibility"zugewiesen (falls angeklickt wird die Regressionlinie unsichtbar bzw. sichtbar).
Zusammen mit der Regressionsfunktion wird auch der Determinationskoeffizient (das Bestimmtheitsmaß) als "R²" berechnet und angezeigt.Das Bestimmtheitsmaß (R²) ist ein Maß der Statistik für den erklärten Anteil der Variabilität (Varianz) einer abhängigen Variablen Y durch ein statistisches Modell. Der Determinationskoeffizient kann Werte zwischen "0" (keine Korrelation) und "1" (perfekte Korrelation) annehmen. Indirekt wird damit auch der Zusammenhang zwischen der abhängigen und der unabhängigen Variablen gemessen.
"R²" ist eine statistische Messgröße, die Informationen liefert, wie gut ein Modell die gemessenen Werte abbilden kann. Bei der Regression zeigt der Determinationskoeffizient wie gut die Regressionslinie alle gemessenen Datenpunkte durchschneidet. Ein R² von "1" zeigt an, dass die Regressionslinie perfekt zu den Daten passt.
Eigene Regressionsfunktion
Die von flashChart bereigestellten Regressionsfunktionen werden sicherlich nicht für alle bereitgestellten Daten gültig sein, daher bietet flashChart die Möglichkeit, eigene Regressionsfunktionen einzusetzen. Das folgende Beispiel zeigt ein Szenario, wo ein eigenes statistische Modell (eine Funktion) zum Einsatz kommt, um die "gemessene Realität" besser abzubilden. Für den Einsatz von eigenen Regressionsmodellen definiert man seine Regressionsfunktion mit dem Parameter formula zusammmen mit show_regression_line. Informationen, wie man formula einsetzt, findet man in der flashChart Dokumentation "Tutorial and Reference". Schwieriger ist sicherlich das Erstellen eines entsprechenden statistischen Modells, das zu den gemessenen Daten passt.
In dem unteren Beispiel habe ich eine "Messung" durchgeführt, die durch das statistische Modell:
"f(x) = -0.8x3 + 100x2" beschrieben wird. Falls die Struktur von abhängiger/unabhängiger Variablen unbekannt ist, kann flashChart mit einer ersten Analyse vielleicht weiterhelfen.
Insgesamt bietet dieses Modell ein besonders anschauliches (didaktisches) Konzept, Relationen von Einsatz (Input) und Ertrag (Output) zu beschreiben. Im Alltag wird schnell klar, eine Arbeit wird zunächst schneller verrichtet, wenn „einige zusammen anpacken“ (Arbeitsteilung), aber mit weiter steigender Anzahl von Beteiligten nimmt die Effizienz ab und es wird vielleicht sogar weniger erreicht („Viele Köche verderben den Brei“).
Diese Gesetzmäßigkeit gilt nicht nur in der landwirtschaftlichen Produktion, wo sie entdeckt und als Bodenertragsgesetz formuliert wurde, sondern ist weit über die industrielle Produktion auch auf andere Bereiche anwendbar.
Ein Beispiel: Wird für ein Produkt bisher kaum oder wenig geworben und nun der Werbeaufwand stark erhöht, dann wachsen die Umsätze zunächst progressiv an. Ab einem bestimmten Punkt wachsen diese nur noch degressiv bis sie schließlich asymptotisch gegen Null tendieren. Dieser Trend lässt sich bei gleichbleibender Qualität auch durch noch so große Aufwendungen nicht mehr umkehren.
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Viele Anwender und Entwickler haben Erweiterungen (mehr als 7.700 sind es Zeit) für Joomla erstellt, die sie der Nutzergemeinde meist kostenfrei zur Verfügung stellen.